Revisiting 3-period intertemporal consumption model: work, retire, afterlife

I discussed this theme in my medium blog(https://medium.com/@imedkrisna/extending-a-simple-2-period-consumption-problem-the-third-period-afterlife-9223cf5467d). I recycle this with a bit of an addition to a more generalised utility function and exploiting python this time so I don’t have to do it by hand, which is nice. One reason why I left Medium ha ha ha.

Work and retirement

It started with a standard, very simple undergrad style intertemporal consumption model which demonstrate consumption smoothing

$$ \begin{equation} \max_{C_1,C_2} u(C_1)+\beta u(C_2) \ \begin{split} s.t.: \ & C_1 = Y - s \ & C_2 = s(1+r) \end{split} \end{equation} $$

I extend the above model with a third period: the afterlife.

Bekerja, pensiun dan masuk surga.

Modelnya diekstensi jadi:

$$ \begin{equation} \max_{C_1,C_2} u(C_1)+\beta u(C_2)+\delta u(C_3) \ \begin{split} s.t.: \ & C_1 = Y -s -p \ & C_2 = s(1+r) \ & C_3 = p(1+x) \ & s \geq 0 \end{split} \end{equation} $$

Seperti dapat dilihat, kali ini kita punya 3 $C$, di mana $C_3$ adalah konsumsi di akherat. Ketika masih di periode satu, kita punya opsi tidak hanya menyisihkan pendapatan $Y$ untuk menabung sebanyak $s$, tapi juga beramal sebanyak $p$. Tidak seperti tabungan, amal tersebut tidak dapat kita gunakan untuk konsumsi di periode 2. Akan tetapi, kita akan menikmati hasil amal kita ketika sudah meninggal. Di akherat, kita akan konsumsi sebanyak $p(1+x)$ di mana $x$ adalah seberapa besar amalam kita berlipat ganda di surga nanti.

dengan substitusi, constraintnya bisa disederhanakan menjadi:

$$ C_1 + \frac{C_2}{(1+r)} + \frac{C_3}{1+x} = Y $$

Optimisasinya tidak berbeda jauh dengan dua periode:

$$ \mathcal{L}(C_t)=u(C_1)+\beta u(C_2)+\delta u(C_3) + \lambda (Y - C_1 - \frac{C_2}{(1+r)} - \frac{C_3}{1+x}) \ \begin{split} F.O.C.: \ & \frac{d\mathcal{L}}{dC_1}=u'(C_1)-\lambda=0 \ & \frac{d\mathcal{L}}{dC_2}=\beta u'(C_2)-\lambda \frac{1}{(1+r)}=0 \ & \frac{d\mathcal{L}}{dC_3}=\delta u'(C_3)-\lambda \frac{1}{(1+x)}=0 \end{split} $$

Dari F.O.C. yang pertama didapat:

$$ u'(C_1) = \lambda $$

Ganti semua $\lambda$:

$$ \begin{align*} u'(C_2)&=\frac{u'(C_1)}{\beta (1+r)} \ u'(C_3)&=\frac{u'(C_1)}{\delta (1+x)} \end{align*} $$

Supaya bisa diitung dengan mudah, kita kasihkan standard CRRA utility function $u(C_t)=\frac{C_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}$. Dengan begini, problem 3 periode di atas dapat kita selesaikan. Kita bisa saja selesaikan dengan tidak terlalu sulit menggunakan pensil dan kertas, tapi kali ini mari kita manfaatkan Python untuk menghitung kelanjutan dari persamaan di atas. Pertama definisikan fungsi utilitas dan turunannya:

# kodenya boleh ngopas dari quantecon
def u(c, γ):
    '''utility function'''
    if γ ==1:
        return np.log(c)
    else:
        return c**(1-γ)/(1-γ)

def u_prime(c, γ):
    '''Derivative of utility'''
    if γ == 1:
        return 1 / c
    else:
        return c**(-γ)

Kemudian kita dapat manfaatkan SciPy untuk menghitung persamaan konsumsi 3 periode di atas. Ada beberapa parameter yang digunakan di problem ini, berikut artinya:

$\gamma$ = kadar takut risiko kita $\delta$ = faktor diskon surga. semakin besar, semakin agamis $\beta$ = faktor diskon periode dua. Semakin besar, semakin penyabar. Kalo kecil berarti tipe YOLO. $Y$ = Income / penghasilan semasa muda. $r$ = tingkat suku bunga $z$ = seberapa besar amalan kita dilipat-gandakan oleh Yang Maha Kuasa.

Saya pake parameter-parameter di bawah ini karena iseng aja. Tentu saja anda bisa install python, kopas kodenya dan utik-utik sendiri parameternya sesuai karakteristik anda.

from scipy.optimize import fsolve
γ=2.00001
δ=0.95
β=0.9
Y=150
r=0.1
z=0.1

def func(c):
    return[u_prime(c[1],γ)-u_prime(c[0],γ)/β/(1+r),
          u_prime(c[2],γ)-u_prime(c[0],γ)/δ/(1+z),
          c[0]+c[1]/(1+r)+c[2]/(1+z)-Y]

root=fsolve(func,[1,1,1])
data = [root, u(root,γ),(root/sum(root))]
tabel=pd.DataFrame(data, columns=["Masa muda", "Pensiun","Surga"])
tabel['Variabel']=['C','U','Share']
tabel = tabel[['Variabel', "Masa muda", "Pensiun","Surga"]]
tabel

Dengan parameter di atas, dapat dilihat bahwa model ini mengarah ke orang yang sangat-sangat menjunjung tinggi comsumption smoothing. Penghasilan yang ia dapatkan $(Y)$ dibagi rata untuk konsumsi, menabung dan juga beramal. Kombinasi ini memiliki total utility yang so pasti maksimal. Ingat, yang dimaksimalkan bukanlah $u$ untuk masing-masing periode tetapi $u(C_1)+\beta u(C_2)+ \delta u(C_3)$.

Angka ini bisa berubah tidak hanya berdasarkan karakteristik si individu (alias parameter $\beta$ dan $\delta$) tetapi juga tergantung dengan kondisi di luar seperti besarnya tingkat suku bunga $r$. seandainya saya naikin suku bunga, ceteris paribus, kira-kira apa yang akan terjadi?

r=0.4
root=fsolve(func,[1,1,1])
data = [root, u(root,γ),(root/sum(root))]
tabel=pd.DataFrame(data, columns=["Masa muda", "Pensiun","Surga"])
tabel['Variabel']=['C','u','Share']
tabel = tabel[['Variabel', "Masa muda", "Pensiun","Surga"]]
tabel

Secara umum semua naik karena kali ini tabungannya menghasilkan lebih banyak uang untuk konsumsi. Namun dapat dilihat bahwa share-nya jadi banyakan tabungan dibandingkan konsumsi (“Masa muda”) ataupun beramal (“Surga”). Hasilnya akan lebih kelihatan jika misalnya kita naikkan suku bunga tapi menurunkan $Y$. Ia akan punya total lifetime income yang sepadan, tapi akan lebih banyak mengalokasikan ke menabung karena dengan suku bunga yang tinggi, opportunity cost dari konsumsi jadi tinggi.

Nah sekarang bagaimana jika ada argumen bahwa amal kita akan dibayarkan dengan berkali lipat bahkan sampai tidak terhingga? Artinya, parameter yang harus kita utik-utik adalah $z$. Yuk dicoba.

z=99
root=fsolve(func,[1,1,1])
data = [root, u(root,γ),(root/sum(root))]
tabel=pd.DataFrame(data, columns=["Masa muda", "Pensiun","Surga"])
tabel['Variabel']=['C','u','Share']
tabel = tabel[['Variabel', "Masa muda", "Pensiun","Surga"]]
tabel

Menurut model ini, maka yang terjadi adalah kita akan menghabiskan tabungan kita untuk amal. Seperti anda lihat di tabel di atas, share amal tiba-tiba naik jadi 83% dari total pendapatan. Yang lucu adalah total income yang dihabiskan di dunia jadi ikut naik. Tentu saja ini mustahil ha ha ha. Tapi jelas naiknya gara-gara “bunga” yang didapatkan dari amal. Bukannya mustahil sih. Bisa saja kan amalan kita di dunia dinikmati sebagian ketika kita masih hidup? Makanya guys jangan lupa berbuat baik.

Tentu saja model ini ngaco

Jangan lupa bahwa ini model yang sangat sederhana sekali dan banyak caveat-nya. Saya sudah tuliskan beberapa di blog medium di atas. Bagaimanapun juga, banyak juga peluang untuk memperlebarnya. Misalnya, dibikin $p$ boleh negatif dengan konsekuensi $Y$ naik, yang bisa kita terjemahkan sebagai perilaku korupsi: Berdosa demi meningkatkan pendapatan dan akan dibayar di neraka nanti. Ini cuma satu contoh. Ada banyak aplikasi lain dengan model yang lebih ribet yang bisa kita buat. hahha.

Yaudah segini dulu. semoga tulisan ini menghibur dan menginspirasi anda untuk beramal dan berbuat kebajikan bagi masyarakat!